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Exercícios Resolvidos de Guidorizzi - Vol 3

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3 - 1.5 - 1a

Prove:

  1. lim X → P ⁡ F X = 0 → ↔ lim X → P ⁡ F X = 0 → .   0 →   é   o   v e t o r   n u l o   d e   R m

Passo 1

Vamos considerar F : A ⊂ R n → R m e P sendo um ponto de acumulação de A .

Temos que:

lim X → P ⁡ F X = 0 →   ↔ ∀ ε > 0 ,   ∃ δ > 0

Pela definição de limite...

Tal que ∀ X ∈ A temos:

0 < X - P < δ → F X - 0 → < ε

Se e somente se:

∀ ε > 0 ,   ∃ δ > 0 ,   ∀ X ∈ A

0 < X - P < ε →   F x - 0 < ε

Ou seja:

lim X → P ⁡ F x = 0

E com isso provamos que:

lim X → P ⁡ F X = 0 → ↔ lim X → P ⁡ F X = 0 →

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