Enunciado

Prove:

lim x → p ⁡ f x = L ⇒ lim x → p ⁡ f x = L

(Sugestão: verifique que f x - L ≤ f x - L e aplique o teorema do confronto.)

Passo 1

Pessoal, vamos lembrar de uma propriedade de módulo que nos diz que, se x e y são reais quaisquer, então:

x - y ≤ x - y

Sendo assim, verificamos que:

f x - L ≤ f x - L

conforme a sugestão do enunciado.

Passo 2

Agora, vamos tentar aplicar o teorema do confronto, sabendo que:

0 ≤ f x - L ≤ f x - L

Tomamos os limites:

0 ≤ lim x → p ⁡ f x - L ≤ lim x → p ⁡ f x - L

Mas o limite do módulo é o módulo do limite:

0 ≤ lim x → p ⁡ f x - L ≤ lim x → p ⁡ f x - L

E o limite da soma é a soma dos limites:

0 ≤ lim x → p ⁡ f x - L ≤ lim x → p ⁡ f x - L

Passo 3

Temos como hipótese que:

lim x → p ⁡ f x = L

Então, isso implica:

lim x → p ⁡ f x - L = 0

lim x → p ⁡ f x - L   = 0

Desse modo,

0 ≤ lim x → p ⁡ f x - L ≤ 0

Isso implica, pelo teorema do confronto:

lim x → p ⁡ f x - L = 0

lim x → p ⁡ f x - L = 0

Logo, provamos a implicação:

lim x → p ⁡ f x = L

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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