Enunciado

a ) Prove que lim x → + ∞ ⁡ x n e x = 0 para todo n interiro positivo.

b ) Ache

lim x → 0 ⁡ e - 1 x x n

Onde x > 0 e n é qualquer inteiro positivo, fazendo x = 1 t e usando o resultado da parte a

Passo 1

Letra a )

Vamos começar substituindo:

lim x → + ∞ ⁡ x n e x = ∞ n e ∞ = ∞ ∞

Isso é uma indeterminação, vamos aplica L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ x n e x = lim x → + ∞ ⁡ x n ' e x ' = lim x → + ∞ ⁡ n x n - 1 e x

Substituindo novamente:

lim x → + ∞ ⁡ n x n - 1 e x = n ∞ n - 1 e ∞ = ∞ ∞

Eita, não saiu. Vamos ver no próximo passo como resolver isso.

Passo 2

O que acontece é que enquanto o numerador possuir uma potência de x , ele vai para infinito.

Assim, vamos aplicando L’Hospital eternamente, até o momento que ele some.

Mas como garantimos que ele vai sumir?

Ele disse que o n é inteiro, na medida que derivamos esse cara, ele vai sempre diminuindo 1 , como ele é inteiro, depois de n vezes aplicando L’Hospital ele vai sumir.

Vamos ter algo assim:

lim x → + ∞ ⁡ n x n - 1 e x = lim x → + ∞ ⁡ n n - 1 x n - 2 e x = … = lim x → + ∞ ⁡ n n - 1 … 2 x e x = lim x → + ∞ ⁡ n n - 1 … 2 . 1 e x

Vamos chegar em:

lim x → + ∞ ⁡ n ! e x

Como n é um número, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ n ! e x = n ! ∞ = 0

E está demonstrado o que ele queria

Passo 3

Letra b

lim x → 0 ⁡ e - 1 x x n

Vamois fazer o que ele sugeriu

x = 1 t

Para isso, temos que ver como vai se comportar o limite, como ele disse que x > 0 , estamos olhando na verdade eapenas os valores a direita de x . Entao vamos ver como se comporta t , para isso, vamos isolar o t

t = 1 x

E vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ 1 x = 1 0 + = + ∞

Entao quando x → 0 + , vamso ter t → + ∞

Substituindo isso no nosso limite, vamos ter:

lim t → + ∞ ⁡ e - t 1 t n = lim t → + ∞ ⁡ e - t 1 t n = lim t → + ∞ ⁡ t n e - t

Lembrando que o expoente negativo funciona assim:

e - t = 1 e t

Vamos ter:

lim t → + ∞ ⁡ t n e - t = lim t → + ∞ ⁡ t n e t

Que é o limite da letra a , ele vai ser 0

Então:

lim x → 0 ⁡ e - 1 x x n = 0

Resposta

Letra b ) 0

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