Enunciado

Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disso.

S x = sgn ⁡ x

Lembrando que sgn ⁡ x é definido como

sgn ⁡ x = - 1 s e x < 0 0 s e x = 0 1 s e x > 0

a ) lim x → 0 + ⁡ S x

b ) lim x → 0 - ⁡ S x

c ) lim x → 0 ⁡ S x

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço de S x . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa S x

O enunciado disse que

S x = sgn ⁡ x

Pegando a definição dessa função dois sgn ⁡ x , quando passamos o modulo, o que acontece é que tudo que é negativo fica positivo

Então, S x vai ser

S x = - 1 s e x < 0 0 s e x = 0 1 s e x > 0

S x = 1 s e x < 0 0 s e x = 0 1 s e x > 0

Podemos resumir essa função em

S x = 1 s e x ≠ 0 0 s e x = 0

Então nosso gráfico vai ser sempre 1 , menos no x = 0 , que será o próprio 0

Para indicar aquele que a função não é 1 em x = 0 devemos colocar aquela bola aberta.

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → 0 + ⁡ S x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela direita. Que é se aproximar de 0 por valores maiores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela direita, a nossa função se aproxima de 1 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = 0 , a reta verdinha chega muuuuuito perto de 1 na verdade.

lim x → 0 + ⁡ S x = 1

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

lim x → 0 - ⁡ S x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Que é se aproximar de 0 por valores menores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 1 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = 0 , a reta verdinha chega muuuuuito perto de 1 na verdade.

lim x → 0 - ⁡ S x = 1

Passo 4

Letra c )

lim x → 0 ⁡ S x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 0 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais são iguais a 1 , então

lim x → 0 ⁡ S x = 1

Resposta

a )

lim x → 0 + ⁡ S x = 1

b )

lim x → 0 - ⁡ S x = 1

c )

lim x → 0 ⁡ S x = 1

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