Enunciado

Prove que quaisquer a e b , a < b ,

arctan b - arctan a < b - a

Conclua que para todo x > 0

arctan x < x

Passo 1

Sendo a função arctan x derivável para [0 , + oo] e contínua em ] 0 , + oo [ , podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, para afirmar que:

arctan b - arctan a = f ´ (c) (b - a)

Ou seja:

((arctan b - arctan a))/(b - a) = f ´ (c)

Sendo que (d arctan x)/(d x) = (1)/(1 + x^2)

Passo 2

Ou seja, Para qualquer que seja o valor de c , a função arctan x nunca será maior que 1, dessa forma:

((arctan b - arctan a))/(b - a) < 1

((arctan b - arctan a))/(b - a) xx (b - a) < b - a

(arctan b - arctan a) < b - a

Passo 3

Para x > 0 sabemos que arctan x , quando x -> oo , tende pra (pi)/(2) , ou seja

arctan x < x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f : R → R uma função. Dizemos que x 0 é um ponto fixo de f se f x 0 = x 0 . f x = x 2 + 1 adamite ponto fixo?
Seja f : R → R e suponha que f ´ x ≠ 1 para todo x . Prove que f admitirá no máximo um ponto fixo.
Prove que para quaisquer que sejam set em ] 1 , + ∞ [ ln ⁡ s - ln ⁡ t ≤ s - t
Seja f : R → R uma função. Dizemos que x 0 é um ponto fixo de f se f x 0 = x 0 . Determine os pontos fixos de f x = x 2 - 3 x