Enunciado

Seja f : R → R e suponha que f ´ x ≠ 1 para todo x . Prove que f admitirá no máximo um ponto fixo.

Passo 1

Pelo teorema do valor intermediário, temos que Se f é contínua e derivável em R , então existirá pelo menos um c tal que:

f b - f a = f ´ c b - a

Se assumirmos que um dos pontos é fixo, por exemplo ( b , b ) , então:

b - f a = f ´ c b - a

b - f a = b f ´ c - a f ´ c

Passando tudo que tem b para o mesmo lado,

b - b f ´ c = f a - a f ´ c

b 1 - f ´ c = f a - a f ´ c

Logo,

b = f a - a f ´ c 1 - f ´ c

Resposta

Para que o ponto seja fixo, então:

b = f a - a f ´ c 1 - f ´ c

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Para que valores de a ,meb a função: f x = 3 , x = 0 - x 2 + 3 x + a , 0x1 m x + b , 1 ≤ x ≤ 2 Satisfaz a hipótese do teorema do valor médio no intervalo[0, 2]?
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