Enunciado

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desse livro

Prove o teorema:

Se a ,   b ,   c   ϵ R e

s e   a < b       e       b < c       e n t ã o       a < c

Passo 1

Esse teorema é bem intuitivo, né? Estamos acostumados com isso das igualdades:

s e   a = b       e       b = c       e n t ã o       a = c

Porém aqui vai ser um pouquinho diferente, por se tratar de desigualdades. Pra provar um teorema temos que começar de algum lugar, nesse caso vamos usar os teoremas que o livro nos dá antes desse que precisamos provar.

Passo 2

Sabemos que:

a < b   ↔ b - a > 0

E que:

b < c ↔ c - b > 0

Passo 3

Então podemos reescrever:

a < c

Como:

c - a > 0

E ainda como:

c - b + b - a > 0

E de cima vemos que ambos os termos dessa soma são positivos e a soma de 2 termos positivos é positiva! Então

a < c

Teje provado!

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