Enunciado

Nos Exercícios 33 e 34, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem, v cm/s é a velocidade da partícula e a cm/s² é a aceleração da partícula no instante t s. Ache v e a em termos de t. Faça uma tabela similar à Tabela 1 que dê uma descrição da posição e movimento da partícula. Inclua na tabela os intervalos de tempo, onde a partícula está se movendo para a direita e para a esquerda, onde a velocidade é crescente e decrescente, quando a velocidade escalar é crescente e decrescente, e a posição da partícula com relação à origem nesses intervalos. Mostre o comportamento do movimento numa figura similar à Figura 1.

34 .   s = 1 6   t 3 - 2 t 2 + 6 t - 2 ,   t ≥ 0

Passo 1

Para achar v e a em termos de t como o enunciado pede, basta derivar uma vez para encontrar v e depois derivar mais uma vez para achar a.

Para saber se a partícula está à direita ou a esquerda da origem basta analisar o sinal de s, nos intervalos de tempo.

Para saber se a partícula se move para direita ou esquerda, basta avaliar o sinal de v, nos intervalos de tempo.

Para saber se a velocidade da partícula é decrescente o crescente basta avaliar o sinal de a, nos intervalos de tempo.

Para saber se a velocidade escalar da partícula é decrescente o crescente basta avaliar o sinal de a e v, nos intervalos de tempo.

Passo 2

Vamos derivar a função s ( t ) em função de t para encontrar v ( t ) :

s ( t ) = 1 6   t 3 - 2 t 2 + 6 t - 2

d s d t = v t = 1 2 t 2 - 4 t + 6

Agora derivando v ( t ) em função de t para encontrar a ( t ) :

d 2 s d t 2 = d v d t = a t = t - 4

Passo 3

Vamos agora analisar para quais valores de t essas três quantidades se anulam.

1º - s ( t )

s t = 1 6   t 3 - 2 t 2 + 6 t - 2

1 6   t 3 - 2 t 2 + 6 t - 2 = 0

⇒ t 1 6 t 2 - 2 t + 6 - 2 t = 0

Como pode ser visto resolver essa equação não é fácil, felizmente para saber o comportamento do movimento durante o tempo para montar a tebela, não precisaremos saber os valores que s ( t ) é igual a zero, apenas com os valores que fazem v t   e   a t irem a zero podemos estabelecer intervalos para serem avaliados.

Passo 4

2º - v ( t )

v t = 1 2 t 2 - 4 t + 6

⇒ 1 2 t 2 - 4 t + 6 = 0

⇒ t 2 - 8 t + 12 = 0

t = 8 ± 8 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 12 2 ( 1 )

= 8 ± 64 - 48 2

= 8 ± 16 2

= 8 ± 4 2

x = 6     o u     x = 2

Assim v ( t ) se anula para:

t = 2     t = 6

Passo 5

3º - a ( t )

a t = t - 4

t - 4 = 0

t = 4

Assim a t se anula para:

t = 4

Passo 6

Agora vamos montar a tabela pedida no enunciado.

Passo 7

Abaixo está a figura que representa o comportamento do movimento.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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