Enunciado

Prove o Teorema 7.2.2 (i).

Passo 1

A questão pede para provarmos a parte (i) do teorema 7.2.2 que basicamente diz que se f for contínua e decrescente no intervalo fechado [ a , b ] , então sua inversa f^(- 1) também será decrescente no intervalo [f (b) , f (a)] .

Bom, já que queremos provar que f^(- 1) é decrescente, o que temos que fazer é mostrar que

y_1 < y_2 => f^(- 1) (y_1) > f^(- 1) (y_2)

Passo 2

Como a inversa existe, existem x_1 e x_2 no domínio de f tais que

y_1 = f (x_1) e y_2 = f (x_2)

Tomando x_1 > x_2 , como f é decrescente por hipótese, temos que

f (x_1) < f (x_2)

Assim, temos que

y_1 < y_2

Agora temos que calcular f^(- 1) (y_1) e f^(- 1) (y_2) e ver o que acontece!

Passo 3

Note que

f^(- 1) (y_1) = f^(- 1) (f (x_1)) = x_1

f^(- 1) (y_2) = f^(- 1) (f (x_2)) = x_2

Mas por hipótese, para que y_1 < y_2 , vimos que x_1 > x_2 . Assim, temos que

f^(- 1) (y_1) > f^(- 1) (y_2)

Desta forma, provamos que se

y_1 < y_2 => f^(- 1) (y_1) > f^(- 1) (y_2)

Vemos assim que f^(- 1) é decrescente!

Resposta

Demonstração.

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Determine a derivada.f) y = a r c s e n ( e x )
Determine a derivada.l) y = e^(- 3 x) + ln (a r c t g x)
Determine a derivada.h) y = s e n3 x a r c t g4 x
Determine a derivada.d) y = a r c t g ( x^2 )
Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = ln ⁡ 3 x