Prove o Teorema 7.2.2 (i).

Passo 1

A questão pede para provarmos a parte (i) do teorema 7.2.2 que basicamente diz que se f for contínua e decrescente no intervalo fechado [ a ,   b ] , então sua inversa f - 1 também será decrescente no intervalo f b ,   f a .

Bom, já que queremos provar que f - 1 é decrescente, o que temos que fazer é mostrar que

y 1 < y 2 ⇒ f - 1 y 1 > f - 1 y 2

Passo 2

Como a inversa existe, existem x 1 e x 2 no domínio de f tais que

y 1 = f x 1         e           y 2 = f x 2

Tomando x 1 > x 2 , como f é decrescente por hipótese, temos que

f x 1 < f x 2

Assim, temos que

y 1 < y 2

Agora temos que calcular f - 1 y 1 e f - 1 y 2 e ver o que acontece!

Passo 3

Note que

f - 1 y 1 = f - 1 f x 1 = x 1

f - 1 y 2 = f - 1 f x 2 = x 2

Mas por hipótese, para que y 1 < y 2 , vimos que x 1 > x 2 . Assim, temos que

f - 1 y 1 > f - 1 y 2

Desta forma, provamos que se

y 1 < y 2 ⇒ f - 1 y 1 > f - 1 y 2

Vemos assim que f - 1 é decrescente!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados