Enunciado

a) Encontre y ' derivando implicitamente.

b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .

c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para y em sua solução para a parte (a).

2 x + 1 y = 4

Passo 1

Fala aí. Tudo belezinha com você?

Nessa questão é dada a equação

2 x + 1 y = 4

E é pedido para que a gente encontre y ' . Ou seja, precisamos derivar essa expressão em relação a x .

Ainda é pedido para que a gente faça isso de duas forma diferente.

No item (a) é pedido que se derive y implicitamente encontrando y ' em função de x . Pra fazer isso a gente deriva dos dois lados e depois isola o y ' que vai aparecer. Fazendo:

2 x + 1 y ' = 4 '

Já, no item (b) é pedido que se isole y para obter y como função de x explicitamente e daí efetuar a derivadam encontrando y ' apenas em função de x .

Ou seja, fazermos algumas manobras algébricas.

E finalemente, no item (c) é pedido para se comparar as respostas dos outros dois itens e verificar se elas são consistentes.

Agora que já sabemos o que fazer, vem comigo ver como tudo vai ficar.

Passo 2

Neste passo vamos resolver o item (a). Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Derivando a equação

2 x - 1 + y - 1 = 4

com relação a x :

2 x + 1 y ' = 4 '

Vamos trazer os denominadores pra cima com expoente negativo e fazer a derivada de cada um deles.

2 x - 1 + y - 1 ' = 4 '

Lembrando que a derivada de constante é igua a zero, e usando a regra do expoente. Já para y usaremos a regra da cadeia. Já que y é uma função de x . Assim, ficamos com:

- 2 x - 2 - y - 2 ⋅ y ' = 0

Isolando y ' , temos que

y - 2 y ' = - 2 x - 2

y ' = - 2 x - 2 y - 2 = - 2 y 2 x 2

Passo 3

Neste passo vamos resolver parte do item (b). Vamos isolar y em função de x na equação fornecida:

1 y = 4 - 2 x =   4 x - 2 x

Multiplicando em cruz:

y 4 x - 2 = x

Assim, temos que

y = x 4 x - 2

Passo 4

Neste item vamos terminar de resolver o item (b). Derivando a expressão encontrada no passo 3 pela regra do quociente:

y ' = x ' ⋅ 4 x - 2 - x ⋅ 4 x - 2 ' 4 x - 2 2

y ' = 4 x - 2 - 4 x 4 x - 2 2 = - 2 4 x - 2 2

Passo 5

Para encerrar, vamos fazer o item (c). aqui temos que comprar as duas derivadas que encontramos.

No item a) encontramos:

y ' = - 2 y 2 x 2

Podemos substituir y por y = x 4 x - 2

E teremos:

y ' = - 2 x 4 x - 2 2 x 2

Resolvendo, teremos:

y ' = - 2 x 2 x 2   4 x - 2 2

y ' = - 2   4 x - 2 2

E no item b) encontramos

y ' = - 2 4 x - 2 2

Assim, vemos que chegamos ao mesmo resultado pelos dois métodos.

Resposta

a) y ' = - 2 y 2 x 2

b) y = x 4 x - 2 e y ' = - 2 4 x - 2 2

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