Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 4
A altura das ondas em mar aberto depende da velocidade do vento e do tempo durante o qual o vento se manteve naquela velocidade. Os valores da função são apresentados em pés na tabela.
(a) Qual o significado das derivadas parciais e ?
(b) Estime os valores de e . Quais são as interpretações práticas desses valores?
(c) Qual parece ser o valor do seguinte limite?
Passo 1
(a) Galera, a derivada parcial representa a taxa de mudança de quando fixamos e consideramos como uma função de , e ela descreve o quão rápido as alturas das ondas mudam quando a velocidade do vento muda, para uma duração de tempo fixa.
Já a derivada parcial representa a taxa de mudança de quando fixamos e consideramos como uma função de , e ela descreve o quão rápido as alturas das ondas mudam quando a duração do tempo muda, mas a velocidade do vento é constante.
Passo 2
(b) Para estimar vamos fixar e calcular as derivadas parciais pela definição para diferentes valores de seguindo a fórmula:
Usando e para obter as derivadas parciais nas adjacências do ponto que queremos analisar:
Fazendo uma média aritmética entre os dois valores encontrados, podemos considerar:
Isso significa que, quando um vento de sopra por horas, a altura das ondas deve crescer cerca de pés a cada de incremento na velocidade do vento, com a mesma duração de tempo.
Passo 3
Agora vamos calcular . Aqui, vamos fixar e calcular as derivadas parciais nas adjacências de pela definição:
Vamos utilizar e :
Fazendo uma média aritmética entre os dois valores encontrados, podemos considerar:
Isso significa que, quando um vento de sopra por horas, a altura das ondas deve crescer cerca de pés a cada hora de incremento na duração do tempo.
Passo 4
(c) Para valores fixos de , a função parece crescer em cada vez menores incrementos, se tornando próxima de constante à medida que cresce. Então, a correspondente taxa de mudança se aproxima de quanto mais cresce, então parecemos ter:
Resposta
(b)
(c)