Enunciado

A altura h das ondas em mar aberto depende da velocidade v do vento e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela velocidade. Os valores da função h = f v ,   t são apresentados em pés na tabela.

(a) Qual o significado das derivadas parciais ∂ h ∂ v e ∂ h ∂ t ?

(b) Estime os valores de f v 80 ,   15 e f t 80 ,   15 . Quais são as interpretações práticas desses valores?

(c) Qual parece ser o valor do seguinte limite?

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t

Passo 1

(a) Galera, a derivada parcial ∂ h ∂ v representa a taxa de mudança de h quando fixamos t e consideramos h como uma função de v , e ela descreve o quão rápido as alturas das ondas mudam quando a velocidade do vento muda, para uma duração de tempo fixa.

Já a derivada parcial ∂ h ∂ t representa a taxa de mudança de h quando fixamos v e consideramos h como uma função de t , e ela descreve o quão rápido as alturas das ondas mudam quando a duração do tempo muda, mas a velocidade do vento é constante.

Passo 2

(b) Para estimar f v 80 ,   15 vamos fixar t = 15 e calcular as derivadas parciais pela definição para diferentes valores de v seguindo a fórmula:

f v 80 ,   15 = lim h → 0 ⁡ f 80 + h ,   15 - f ( 80 ,   15 ) h

Usando h = 20 e h = - 20 para obter as derivadas parciais nas adjacências do ponto que queremos analisar:

f v 80 ,   15 ≈   ⁡ f 100 ,   15 - f 80 ,   15 20 = 11,0 - 7,7 20 = 0,165

f v 80 ,   15 ≈   ⁡ f 60 ,   15 - f 80 ,   15 - 20 = 4,9 - 7,7 - 20 = 0,14

Fazendo uma média aritmética entre os dois valores encontrados, podemos considerar:

f v 80 ,   15 ≈ 0,15 3

Isso significa que, quando um vento de 80   k m / h sopra por 15 horas, a altura das ondas deve crescer cerca de 0,15 3 pés a cada k m / h de incremento na velocidade do vento, com a mesma duração de tempo.

Passo 3

Agora vamos calcular f t 80 ,   15 . Aqui, vamos fixar v = 80 e calcular as derivadas parciais nas adjacências de t = 15 pela definição:

f t 80 ,   15 = lim h → 0 ⁡ f 80 ,   15 + h - f ( 80 ,   15 ) h

Vamos utilizar h = 5 e h = - 5 :

f t 80 ,   15 =   ⁡ f 80 ,   20 - f 80 ,   15 5 = 8,6 - 7,7 5 = 0,18

f t 80 ,   15 =   ⁡ f 80 ,   10 - f 80 ,   15 - 5 = 6,4 - 7,7 - 5 = 0,26

Fazendo uma média aritmética entre os dois valores encontrados, podemos considerar:

f t 80 ,   15 ≈ 0,2 2

Isso significa que, quando um vento de 80   k m / h sopra por 15 horas, a altura das ondas deve crescer cerca de 0,2 2 pés a cada hora de incremento na duração do tempo.

Passo 4

(c) Para valores fixos de v , a função f v ,   t parece crescer em cada vez menores incrementos, se tornando próxima de constante à medida que t cresce. Então, a correspondente taxa de mudança se aproxima de 0 quanto mais t cresce, então parecemos ter:

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

Resposta

(b) f v 80 ,   15 ≈ 0,15 3                                         f t 80 ,   15 ≈ 0,2 2

(c) lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

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