Enunciado

  1. Quão exata deve ser a medição do diâmetro interno de um tanque cilíndrico de armazenagem com 10 m de altura para que o cálculo de seu volume fique a 1 % do valor real?
  2. Quão exata deve ser a medição do diâmetro externo desse tanque para que o cálculo da quantidade de tinta para pintar sua parede fique no máximo 5% da quantidade real?

Passo 1

  1. Medição do diâmetro.

Primeiramente, sabemos que num cilindro: V = π r 2 h e como o diâmetro é o dobro do raio, podemos fazer: V = π D 2 2 h = π D 2 h 4

A porcentagem de erro no cálculo de algum valor X é dado pelo quociente entre a variação do valor e o próprio valor. Traduzindo pra matemática: P e = d X x .

Isso porque o erro é dado pela variação d x e a porcentagem é feita em cima do valor inicial X. Mas para simplificar vamos usar a relação acima.

Assim, a porcentagem do erro de cálculo do volume é d V V = 1 % (dado no enunciado); a porcentagem de erro de cálculo do diâmetro (o que queremos) é dada por: d D D .

Temos que a V = π D 2 h 4 , d V = 2 π h D 4 d D = π D h   d D 2 .

Substituindo na porcentagem de erro do volume então e sabendo que h = 10 ,

temos: d V V = π D ( 10 ) d D 2 π D 2 ( 10 ) 4

Simplificando:, d V V = 5 π D d D 5 π D 2 2 = 2 d D D

Substituindo pelo valor do erro dado:

1 % = 2 d D D   → d D D = 0,5 %  

Ou seja, a porcentagem de erro no cálculo da altura é 0,5% do valor real.

Passo 2

  1. Quão exata deve ser a medição do diâmetro externo desse tanque para que o cálculo da quantidade de tinta para pintar sua parede fique no máximo 5% da quantidade real?

A superfície a ser pintada dada por S = π D e h , sendo D e o diâmetro externo e h a altura (basta usar a fórmula do comprimento da circunferência e multiplicar pela altura).

Agora vamos proceder da mesma forma do item anterior. A porcentagem de erro no cálculo da superfície é dada por: d S S ≤ 5 % e a porcentagem de erro do diâmetro é dada por: d D e D e

E temos S = π D e h e d S = π h   d D e

Substituindo então...

d S S = π h   d D e π h   D e

d S S = d D e D e ≤ 5 %

E chegamos ao erro máximo do cálculo do diâmetro externo.

Resposta

  1. 0,5%
  2. 5%
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