Enunciado

Queda livre próximo à superfície de um planeta

Para uma queda livre perto da superfície de um planeta onde a aceleração da gravidade tern uma magnitude constante de g unidades de comprimento/s², a Equação 1 do Exercício 125 toma a forma

onde s é a altura do corpo acima da superfície. A equação tem um sinal negativo, pois a aceleração atua para baixo, no sentido da diminuição de s . A velocidade v 0 será positiva se o objeto estiver subindo no tempo t = 0 e negativa se o objeto estiver caindo. Em vez de utilizar o resultado do Exercício 125, é possível deduzir a Equação 2 diretamente por meio da resolução de um problema de valor inicial adequado. Qual problema de valor inicial? Resolva-o para se certificar de que é o problema certo, explicando os passos da solução conforme avançar.

Passo 1

Observando o exercício anterior (125), é possível notar que a equação do espaço a ser deduzida é semelhante tendo apenas uma variável diferente.

Assim, apenas a condição inicial do P.V.I. que envolver essa variável diferente que irá se alterar, cuja variável é o coeficiente que multiplica o a parte quadrática da função de segundo grau.

Com isso, podemos concluir que o P.V.I. será dado por:

Equação diferencial: d 2 s d t 2 = - g

Condições iniciais: d s d t = v 0 ,   s = s 0   q u a n d o   t = 0 .

Para provar que esse é o P.V.I. correto, devemos realizar o procedimento para encontrar a solução do mesmo.

Passo 2

Então, para descobrir a velocidade, temos que:

v = ∫ d 2 s d t 2   d t = ∫ - g d t

v = - g t + C 1

Aplicando os valores da condição dada:

v = d s d t = v 0 = - g 0 + C 1

∴ C 1 = v 0

Com isso:

v = d s d t = - g t + v 0

Passo 3

Agora, é possível determinar a equação do deslocamento que é representado pela integral da função velocidade, ou seja:

s = ∫ - g t + v 0 d t = - g t 2 2 + v 0 t + C 2

Para encontrar a constante C 2 , devemos aplicar as condições fornecidas. Assim, temos:

s 0 = - g 0 2 2 + v 0 0 + C 2 ∴ C 2 = s 0

Logo, deduz-se a equação desejada:

s = - g t 2 2 + v 0 t + s 0

E, portanto, o P.V.I. escolhido é o correto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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