Enunciado

Uma partícula move-se de acordo com os dados que seguem. Encontre a posição da partícula.

a t = 10 sen ⁡ t + 3 cos ⁡ t ,           s 0 = 0 ,       s 2 π = 12

Passo 1

A aceleração é a segunda derivada da posição:

a t = s ' ' ( t )

Para chegar à posição a partir da aceleração, então fazemos o caminho contrário: aplicamos duas vezes a antiderivada. Primeiro aplicamos a antiderivada para encontrar s ' ( t ) , a velocidade. Depois fazemos o processo novamente, para chegar na posição s ( t ) .

Passo 2

Primeiramente encontramos v t = s ' ( t ) achando a antiderivada da aceleração. A antiderivada do cosseno é seno e a antiderivada do seno é menos cosseno:

a t = s ' ' t = 10 sen ⁡ t + 3 cos ⁡ t

⇒ v t = s ' t = - 10 cos ⁡ t + 3 sen ⁡ t + C

Passo 3

Agora achamos a antiderivada da velocidade, que é a posição:

v t = s ' t = - 10 cos ⁡ t + 3 sen ⁡ t + C

⇒ s t = - 10 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t + C t + D

Agora devemos aplicar as condições de contorno para achar as constantes C e D :

s 0 = 0 ⇒ D = 0

s 2 π = 12 ⇒ - 10 sen ⁡ 2 π - 3 cos ⁡ 2 π + 2 π C = 0

⇒ - 3 + 2 π C = 0 ⇒ C = 3 2 π

Então temos finalmente a função posição:

s t = - 10 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t + 3 t 2 π

Resposta

s t = - 10 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t + 3 t 2 π

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