Enunciado

Questão: 42

Ache o centroide da região limitada pela curva y = e x , pelos eixos coordenados e pela reta x = 3 .

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Nesse problema encontramos a área e depois encontramos os componentes do centroide, pois é um problema bidimensional. A área pode ser calculada assim;

Passo 2

A = ∫ 0 3 e x   d x = e x | 3 0 = e³ - 1

Para encontrar componentes x '   ,     y   ' do centroide usamos

x ' = M x A

y ' = M y A

Onde Mx e My , são fatores que não precisamos entrar em detalhes, mas,

M y   =   ∫ 0 3 e x   d x           e         M x   =     1 2   ∫ 0 3 e x   d x

M x =   1 2   .   e 2 x 2   | 3 0       =         e 2 x 2 | 3 0         =       e 6 4     -   1 4       e para encontrar My usaremos integral por partes, veja;

Passo 3

Logo; x '   =   M x A   =         e 6 - 1 4 e 3 - 1     =   e 3 + 1 4    

My = ∫ x e x d x

Seja f(x) = x derivando f’(x) = 1

g’(x) = e x integrando g(x) = e x

My = ∫ x e x d x = x . e x - ∫ e x   d x

= x . e x - e x | 3 0

= ( 3 e³ - e 5 ) - ( - e 0 )

= 2 e 3 + 1

y ' = M y A = 2   e 3   +   1   e 3 - 1

Resposta

x ' = M x A = e 3 + 1 4

Y ' = M y A = 2   e 3   +   1   e 3 - 1

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