Enunciado

Ache o comprimento da curva 9 y 2 = 4 1 + x 2 3 no primeiro quadrante, do ponto onde x = 0 ao ponto onde x = 2 2 .

Passo 1

Pessoal, para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula. Perceba que precisamos de uma f ( x ) , isso indica que vamos precisar isolar o y na equação do enunciado. Façamos isso então.

9 y 2 = 4 1 + x 2 3   →     y = ± 2 3 1 + x 2 3 = ± 2 3 1 + x 2 3 2

Como é no primeiro quadrante, temos:

f x = 2 3 1 + x 2 3 2

Ok! Podemos prosseguir.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ x ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f x = 2 3 1 + x 2 3 2 , então:

f ' ( x ) = 3 2 ⋅ 2 3 1 + x 2 3 2 - 1 ⋅ ( 1 + x 2 ) ' = 1 + x 2 1 2 ⋅ ( 2 x )

Já o intervalo de integração será de x = 0 até x = 2 2 .

Sendo assim, o comprimento é dado por:

L = ∫ 0 2 2 1 + 1 + x 2 1 2 ⋅ ( 2 x ) 2 d x = ∫ 0 2 2 1 + 4 x 2 ( x 2 + 1 ) d x

= ∫ 0 2 2 4 x 4 + 4 x 2 + 1 ⏟ 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 d x = ∫ 0 2 2 2 x 2 + 1 2 d x = ∫ 0 2 2 2 x 2 + 1 d x

L = ∫ 0 2 2 2 x 2 + 1 d x

Passo 3

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

L = ∫ 0 2 2 2 x 2 + 1 d x = 2 x 3 3 + x 0 2 2 = 2 ( 2 2 ) 3 3 + 2 2 - 2 ( 0 ) 3 3 + 0

= 2 ( 2 3 ⋅ 2 2 ) 3 + 2 2 = 32 2 + 6 2 3 = 38 2 3

Esse é o resultado procurado.

Resposta

L = 38 2 3   u . c

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