Enunciado

Questão: 35

Ache a área da região limitada pela curva y = ln ⁡ x , pelo eixo x e pela reta x = e ² .

Passo 1

Em questão desse tipo é bom saber um pouco de gráficos de funções, pelo menos;

1° Encontrar a intersecção da função ln x com o eixo x, beleza?

Qual a condição para que a função ln x passe pelo eixo x? Quando y é zero, certo?

Então seja y = 0 →   0 = ln x x=1

Agora da pra fazer o gráfico, além disso qual o valor a função assume quando x = e²?

Y = ln e² = 2 , certo? Marque no gráfico.

Passo 2

Portanto , veja que o eixo esta limitada logo usaremos integral, note que esse eixo é;

∫ 1 e x ln ⁡ x   d x         certo, para calcular integração por partes, vamos lá!

Seja f(x) = ln x derivando f(x) = 1 x

g’(x) = 1 integrando g(x) = x

∫ ln ⁡ x   d x = ln x - ∫ 1 x x dx = x.ln x – x | e ² 1

= 2.e² - e² ( - 1)

=e² + 1.

Resposta

e² + 1.

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