Nos Exercícios de 11 a 28, ache (f^(-1))'(d)

23. f(x) = 1 / 2 cosec x; 0 < x < pi / 2; d = 1

Passo 1

Para achar ( f - 1 ) ' ( d ) da função dada podemos fazer uso do teorema 7.2.4 do capítulo 7, seção 2 do livro que diz:

Seja f uma função monótona e continua no intervalo fechado [a, b], contendo o número c e seja f c = d . Se f ' ( c ) existir e f ' ( c ) ≠ 0 , então ( f - 1 ) ' ( d ) existirá e

f - 1 ' d = 1 f ' c

Passo 2

Agora vamos as contas, temos que saber quem é o c em nossa situação, mas para isso temos:

f c = d

⇒ 1 2 c o s e c   c = 1

⇒ c o s e c   c = 2

⇒ c = a r c c o s e c   2

⇒ c = π 6

Passo 3

Agora vamos calcular f ' ( c ) , com o que obtemos no passo 2 e depois aplicar a fórmula do teorema.

f x = 1 2 c o s s e c   x

f ' x = - 1 2 c o t g x ⋅ c o s s e c x

Assim:

f ' π 6 = - 1 2 c o t g π 6 ⋅ c o s s e c π 6

                          = - 1 2 3 ⋅ 2

                          = - 3

Agora usando na fórmula do teorema:

f - 1 ' d = 1 f ' c

Onde f - 1 d = a r c c o s e c   ( 2 d )

Temos:

( a r c c o s e c   2 ⋅ 1 ) ' = 1 - 1 2 c o t g π 6 ⋅ c o s s e c π 6

                                                                          = 1 - 3

                                                                          = - 3 3

Resposta

f - 1 ' d = a r c c o s e c   2 ⋅ 1 ' = - 3 3

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