Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 28, ache ( f^(- 1) ) ' ( d )

23. f (x) = (1)/(2) c o s e c x ; 0 < x < (pi)/(2) ; d = 1

Passo 1

Para achar ( f^(- 1) ) ' ( d ) da função dada podemos fazer uso do teorema 7.2.4 do capítulo 7, seção 2 do livro que diz:

Seja f uma função monótona e continua no intervalo fechado [a, b], contendo o número c e seja f (c) = d . Se f ' ( c ) existir e f ' ( c ) != 0 , então ( f^(- 1) ) ' ( d ) existirá e

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c))

Passo 2

Agora vamos as contas, temos que saber quem é o c em nossa situação, mas para isso temos:

f (c) = d

=> (1)/(2) c o s e c (c) = 1

=> c o s e c (c) = 2

=> c = a r c c o s e c 2

=> c = (pi)/(6)

Passo 3

Agora vamos calcular f ' ( c ) , com o que obtemos no passo 2 e depois aplicar a fórmula do teorema.

f (x) = (1)/(2) c o s s e c x

f^' (x) = - (1)/(2) c o t g (x) * c o s s e c (x)

Assim:

f^' ((pi)/(6)) = - (1)/(2) c o t g ((pi)/(6)) * c o s s e c ((pi)/(6))

= - (1)/(2) (sqrt(3)) * 2

= - sqrt(3)

Agora usando na fórmula do teorema:

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c))

Onde f^(- 1) (d) = a r c c o s e c ( 2 d )

Temos:

( a r c c o s e c (2 * 1) ) ' = (1)/(- (1)/(2) c o t g ((pi)/(6)) * c o s s e c ((pi)/(6)))

= (1)/(- sqrt(3))

= - (sqrt(3))/(3)

Resposta

(f^(- 1))^' (d) = (a r c c o s e c (2 * 1))^' = - (sqrt(3))/(3)

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