Enunciado

A região limitada pela curva y = tg ⁡ x , pela reta x = π 3 e pelo eixo x é gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja. Limitada no final por π 3 até começa no ponto onde a tangente é 0 .

Precisamos descobrir esse ponto:

tg ⁡ x = 0 → sen ⁡ x cos ⁡ x = 0

sen ⁡ x = 0

Como estamos pegando valores antes da reta vermelha, que é π 3 , vamos ter que

x = 0

Entao teremos, x = 0 até x = π 3 . Onde o raio do disco vai ser a própria função verde:

r x = tg ⁡ x

O volume vai ser:

V = ∫ 0 π 3 π tg ⁡ x 2 d x

V = ∫ 0 π 3 π tg 2 ⁡ x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 π 3 π tg 2 ⁡ x d x

V = π ∫ 0 π 3 tg 2 ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ tg 2 ⁡ x d x

Aqui, vamos usar a relação fundamental da trigonometria:

tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

A integral vai ficar:

∫ tg 2 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x = tg ⁡ x - x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 π 3 tg 2 ⁡ x d x = π tg ⁡ x - x 0 π 3 =

π tg ⁡ π 3 - π 3 - π tg ⁡ 0 - 0

Lembrando que

π 3 = 6 0 °

Vamos ter:

tg ⁡ π 3 = 3

π 3 - π 3

π 3 - π 3

Resposta

π 3 - π 3

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sec 2 ⁡ x , pelos eixo𝑠 e pelas reta x = 1 4 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 3 csc 3 ⁡ x pelo eixo x e pelas reta x = 1 6 π e x = 1 2 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno do eixo x.
A região no primeiro quadrante limitado pela curva y = c o s x e pelas retas y = 1 e x = π 2 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.
A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = s e n x e y = c o s x para 0 ≤ x ≤ π 4 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido de revolução gerado.