Enunciado

Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.

Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3

O A C em torno do eixo y

Passo 1

A figura que ele deu é:

Com a curva

y 2 = x 3

Aqui, queremos o colume de O A C em torno do eixo y

Como estamos trabalhando com rotação no eixo paralelo ao y , devemos olhar o intervalo de variação nele. Vamos ter, pelo gráfico:

y = 0

y = 8

Para acharmos a função em y , já que estamos rodando paralelo ao eixo y vamos isolar o x

y 2 = x 3 → x = y 2 3

Na verdade aqui, temos duas regiões. Uma da Curva O C até o eixo y , e outra da retra A C até o eixo y .

O volume vai ser a subtração dessas duas:

V = V 1 - V 2

Onde:

da Curva O C até o eixo y → V 1

da retra A C até o eixo y → V 2

Vamos ver os raios de cada região:

r 1 y = y 2 3

Da vermelha para a verde, vamos ter:

r 2 y = 4

O volume vai ser a subtração dos dois volumes,

V = V 1 - V 2

V 1 = ∫ 0 8 π y 2 3 2 d y = ∫ 0 8 π y 4 3 d y

V 2 = ∫ 0 8 π 4 2 d y = ∫ 0 8 π 16 d y

Passo 2

Vamos resolver essas integral:

V 2 = ∫ 0 8 π 16 d y = 16 π ∫ 0 8 d y = 16 π y 0 8 = 16 π 8 - 0 = 128 π

Passo 3

Vamos para a o outro volume:

V 1 = ∫ 0 8 π y 4 3 d x

V 1 = π ∫ 0 8 y 4 3 d x

Primeiro, vamos fazer:

∫ y 4 3 d x = ∫ y 4 3 d x = y 4 3 + 1 4 3 + 1 + C = y 7 3 7 / 3 + C

3 7 y 7 3 + C

Voltando para a nossa integral definida:

V 1 = π ∫ 0 8 3 7 y 7 3 d x = π 3 7 y 7 3 0 8 =

π 3 7 8 7 3 - π 3 7 0 7 3

Lembrando que:

8 7 3 = 8 3 7 = 2 7 = 128

Voltando para as contas:

π 3 7 128 =

384 π 7

Passo 4

Nosso volume vai ficar:

V = V 1 - V 2 = 128 π - 384 π 7 = 512 π 7

Resposta

512 π 7

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