Enunciado

A Regra da Potência pode ser demonstrada usando a derivação implícita para o caso n é um número racional, n = p q , e y = f x = x n é suposta de antemão ser uma função derivável. Se y = x p q , então y q = x p . Use a derivação implícita para mostrar que

y ' = p q x p q - 1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos demonstrar a regra do produto utilizando derivação implícita. Para isso, iremos considerar que nossa função é derivável e que

y q = x p

Passo 2

Primeiramente, iremos derivar a seguinte equação em relação a x

y q = x p

q y ( q - 1 ) y ' = p x p - 1

Agora, iremos isolar y ’ para encontrar a nossa derivada de y utilizando derivação implícita.

q y ( q - 1 ) y ' = p x p - 1

y ' = p x p - 1 q y ( q - 1 )

Passo 3

Agora, iremos rearranjar os termos. Sabemos que pelas propriedade de potência

y ( q - 1 ) = y q y - 1 = y q y

Podemos então reescrever y ' da seguinte forma

y ' = p x p - 1 q y ( q - 1 )

y ' = p x p - 1 q y q y = p x p - 1 y q y q

Mas, sabemos pelo enunciado da questão que

y q = x p

e

y = f x = x n = x p q

Podemos então reescrever novamente y ' com base no que sabemos

y ' = p x p - 1 y q y q

y ' = p x p - 1 x p q q x p

Novamente, pelas propriedades de potência, temos que

x p - 1 x p q x p = x p - 1 - p + p q = x ( p q ) - 1

Então, temos que

y ' = p q x p q - 1

Resposta

Como queremos mostrar, a regra do produto se da pela seguinte forma

y ' = p q x p q - 1

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