Enunciado

Reparametrize a curva em relação ao comprimento do arco do ponto onde t = 0 na direção crescente de t .

r → t = 3 s e n   t i ^ + 4 t j ^ + 3 cos ⁡ t k ^

Passo 1

Para reparametrizar a curva em relação ao comprimento de arco precisamos inicialmente encontrar quem é esse comprimento de arco, que é dado pela equação:

d S d t = | r → ' t |

Passo 2

Como r → t é uma função vetorial a sua derivada corresponde a derivada de cada componente, então calculando a derivada obtemos:

r → ' t = 3 cos ⁡ t , 4 , - 3 s e n   t

Calculando d S d t :

d S d t = r → ' t = 3 2 cos 2 ⁡ t + 4 2 + ( - 3 ) 2 s e n 2 t   = 2 5 = 5

Podemos utilizar o parâmetro t = 0 como limite de integração para poder calcular S ( t ) .

Então a função de comprimento de arco é:

S = S t = ∫ 0 t 5   d t ' = 5   t - 5 ⋅ 0 = 5 t

Desta forma:

t = S 5

Passo 3

Reparametrizando a curva:

r → t ( S ) = 3 sen ⁡ S 5 i ^ + 4 5 S j ^ + 3 cos ⁡ S 5 k ^

Resposta

r → t ( S ) = 3 sen ⁡ S 5 i ^ + 4 5 S j ^ + 3 cos ⁡ S 5 k ^

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Dtermine se as curvas são lisas(a) r → t = t 3 , t 4 ,t 5 (b) r → t = t 3 + t , t 4 ,t 5 (c) r → t = cos 3 ⁡ t , s e n 3 t
As curvas r → 1 t = t , t 2 , t 3 e r → 2 t = s e nt , s e n2 t , t se encontram na origem. Determine o ângulo de interseção destas com a precisão de graus.
(a) Determine o ponto de interseção das retas tangente à curva r → t = s e nπ t ,2 s e nπ t, cos ⁡ π t No ponto t = 0 e t = 0,5 .(b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.
Estabeleça as equações paramétricas para a reta tangente a curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. x =
(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.(b) Determine r → ' ( t ) .(c) Desenhe o vetor de posição r → ( t ) e o vetor tangente r → ' ( t ) para o valor dado de t. r → t = 1 + t