Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 30
(a) Determine o ponto de interseção das retas tangente à curva
No ponto e .
(b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.
Passo 1
Para determinar o ponto no qual as duas retas tangentes se cruzam precisamos encontrar a equação paramétrica de ambas as retas, para isso vamos precisar de um ponto e um vetor pertencente a cada reta.
Tendo as duas equações basta igualarmos elas e encontrar o parâmetro t que corresponde justamente ao ponto no qual elas se cruzam. Com esse parâmetro em mãos basta substituir em qualquer uma das equações das retas que encontramos o ponto de interseção.
Passo 2
a) O vetor da reta tangente pode ser encontrado a partir da derivada da curva aplicada no ponto referente a um dos parâmetros.
O parâmetro corresponde ao ponto
O parâmetro corresponde ao ponto
A derivada de é:
Aplicada em e :
Então a equação paramétrica das retas tangentes são:
Igualando as duas equações encontramos que o parâmetro do ponto de interseção é
Substituindo esse parâmetro na equação de qualquer uma das retas tangentes obtemos que o ponto associado a ele é , onde este é o ponto de interseção.
Passo 3
b) O gráfico da curva juntamente com as retas tangentes é:
Resposta
a) Ponto de interseção: .
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