Enunciado

(a) Determine o ponto de interseção das retas tangente à curva

r → t = s e n   π t ,   2 s e n   π t   , cos ⁡ π t

No ponto t = 0 e t = 0,5 .

(b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.

Passo 1

Para determinar o ponto no qual as duas retas tangentes se cruzam precisamos encontrar a equação paramétrica de ambas as retas, para isso vamos precisar de um ponto e um vetor pertencente a cada reta.

Tendo as duas equações basta igualarmos elas e encontrar o parâmetro t que corresponde justamente ao ponto no qual elas se cruzam. Com esse parâmetro em mãos basta substituir em qualquer uma das equações das retas que encontramos o ponto de interseção.

Passo 2

a) O vetor da reta tangente pode ser encontrado a partir da derivada da curva aplicada no ponto referente a um dos parâmetros.

O parâmetro t = 0 corresponde ao ponto ( 0,0 , 1 )

O parâmetro t = 0,5 corresponde ao ponto ( 1 , 2 , 0 )

A derivada de r → t = s e n   π t ,   2 s e n   π t   , cos ⁡ π t   é:

r → ' t = π cos ⁡ π t ,   2 π cos ⁡ π t   , π   s e n   π t

Aplicada em t = 0 e t = 0,5 :

r → ' 0 = π ,   2 π , 0

r → ' 0,5 = 0 ,   0 , π

Então a equação paramétrica das retas tangentes são:

x = π t ,     y = 2 π t ,     z = 1

x = 1 ,     y = 2 ,     z = π t

Igualando as duas equações encontramos que o parâmetro do ponto de interseção é t = 1 / π

Substituindo esse parâmetro na equação de qualquer uma das retas tangentes obtemos que o ponto associado a ele é ( 1,2 , 1 ) , onde este é o ponto de interseção.

Passo 3

b) O gráfico da curva juntamente com as retas tangentes é:

Resposta

a) Ponto de interseção: ( 1,2 , 1 ) .

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Encontre a equação do plano normal e do plano osculador para a curva dada pelo ponto. x = ln ⁡ t ,y = 2 t , z = t ² ; ( 0,2 , 1 ) ²
Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva. r t =t 4 - t 2 + 1 , t , t 2
Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva. r t =t 2 , t - 1 , 5 - t
Utilize o computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a garantir que a visualização é verdadeira. r → t =s e n t , c o s t , t 2
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Identifique com seta a direção na qual o parâmetro cresce r → t = t 4 + 1 , t