Enunciado

Dtermine se as curvas são lisas

(a) vec r (t) = 〈t^3 , t^4 , t^5〉

(b) vec r (t) = 〈t^3 + t , t^4 , t^5〉

(c) vec r (t) = 〈cos^3 t , s e n^3 t〉

Passo 1

Uma curva dada por uma função vetorial vec r ( t ) é denominada lisa quando vec r ' ( t ) for continua e vec r ' ( t ) != 0 . Então vamos analisar cada caso e verificar se eles estão de acordo com as definições de uma curva lisa.

Passo 2

a) Vamos calcular a derivada de vec r (t) = 〈t^3 , t^4 , t^5〉 , no qual corresponde a derivada de cada componente.

vec r^' (t) = 〈3 t^2 , 4 t^3 , 5 t^4〉

Quando aplicamos o parâmetro t = 0 , vec r ' ( t ) fica:

vec r^' (0) = 〈0,0 , 0〉

Logo não está de acordo com a definição para uma curva lisa, portanto vec r ( t ) não é uma curva lisa.

Passo 3

b) Vamos calcular a derivada de vec r (t) = 〈t^3 + t , t^4 , t^5〉 , no qual corresponde a derivada de cada componente.

vec r^' (t) = 〈3 t^2 + 1 , 4 t^3 , 5 t^4〉

Para essa função vetorial temos que vec r ' (t) é continua e também que para t = 0 temos:

vec r (0) = 〈1,0 , 0〉 != 0

Logo está de acordo com a definição de uma curva lisa, portanto vec r ( t ) é uma curva lisa.

Passo 4

c) Vamos calcular a derivada de vec r (t) = 〈cos^3 t , s e n^3 t〉 , no qual corresponde a derivada de cada componente.

vec r^' (t) = 〈- 3 cos^2 t s e n t , 3 s e n^2 t cos t〉

Quando aplicamos o parâmetro t = 0 , vec r ' ( t ) fica:

vec r^' (0) = 〈0,0〉

Logo não está de acordo com a definição para uma curva lisa, portanto vec r ( t ) não é uma curva lisa.

Resposta

a) Não é uma curva lisa.

b) É uma curva lisa.

c) Não é uma curva lisa.

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