Enunciado

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

49-

y = x e 1 x

Passo 1

Fazendo a regra do produto encontramos a primeira derivada dessa função:

y ' = e 1 x + x e 1 x × - 1 x 2 = e 1 x - e 1 x x

Agora fazendo a segunda derivada dessa função temos:

y ' ' = e 1 x ' - e 1 x x '

y ' ' =   e 1 x × - 1 x 2 - e 1 x ' x - ( e 1 x ) ( x ) ' x 2

y ' ' = - e 1 x x 2 - - e 1 x x 2   x - e 1 x x 2

y ' ' = - e 1 x x 2 + e 1 x x + e 1 x x 2

y ' ' = - e 1 x x 2 + e 1 x x 3 + e 1 x x x 3

y ' ' = e 1 x x 3

Passo 2

Analisando os pontos críticos da função pelo y’ nós temos:

e 1 x - e 1 x x = 0

x e 1 x = e 1 x

Nessa equação e 1 x = 0 o que seria ln ⁡ 0 = 1 x o que não pode acontecer.

Ou:

x = 1

Além de que temos uma assíntota em x = 0 , já que não podemos ter a função e 1 0

Passo 3

Agora testando x=1 na derivada segunda para descobrir se ela é ponto de máximo ou mínimo.

y ' ' 1 = e 1 1 3 = e → p o s i t i v o

Logo esse ponto é mínimo local com concavidade para cima.

Agora vendo se temos pontos de inflexão esbarramos na mesma questão que e 1 x nunca será zero, logo não teremos pontos de inflexão.

Passo 4

Agora testando nossos limites a fim de sabermos das assíntotas horizontais nós temos que testar essa função para ± ∞ e zeros a esquerda e a direita por ser uma assíntota vertical.

lim x → ∞ ⁡ x e 1 x

O que podemos desmembrar como :

lim x → ∞ ⁡ x × lim x → ∞ ⁡ e 1 x = ∞ × 1 = + ∞

Agora para menos infinito temos:

lim x → - ∞ ⁡ x e 1 x

O que podemos desmembrar como :

lim x → - ∞ ⁡ x × lim x → - ∞ ⁡ e 1 x = - ∞ × 1 = - ∞

Agora pros zeros:

Zero a direita:

lim x → 0 + ⁡ x e 1 x

Se fizermos essa conta acharemos 0 × ∞ o que é um caso de indeterminação, porém como transformar isso numa fração para aplicar L’Hopital?

lim x → 0 + ⁡ x e 1 x =   lim x → 0 + ⁡ e 1 x 1 x

Agora daria ∞ ∞ , perfeito para aplicar L’Hopital:

lim x → 0 + ⁡ - e 1 x x 2 - 1 x 2 ∴ lim x → 0 + ⁡ e 1 x = + ∞

Agora fazendo para zero a esquerda temos:

lim x → 0 - ⁡ e 1 x 1 x

Aplicando L’Hopital temos:

lim x → 0 - ⁡ e 1 x = 0

Para encontrar os valores de limite para os zeros tendendo a esquerda e a direita, basta pegar a calculadora e testar.

Passo 5

Agora arrumando nossos intervalos nós temos:

Pontos de teste: -1 0.5 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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