Enunciado

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

37-

y = x   8 - x 2

Passo 1

Fazendo distributiva da função temos:

y = 8 x 2 - x 4

Agora fazendo a primeira derivada dessa função temos:

y ' = 1 2 8 x 2 - x 4 × ( 16 x - 4 x 3 )

y ' = 8 x - 2 x 3 8 x 2 - x 2

y ' = 8 - 2 x 2 8 - x 2

Agora para derivada segunda:

y ' ' = 8 - 2 x 2 ' 8 - x 2 - ( 8 - 2 x 2 ) ( 8 - x 2 ) ' 8 - x 2

y ' ' = - 4 x 8 - x 2 - 8 - 2 x 2 × - x 8 - x 2 8 - x 2

Fazendo MMC no numerador:

y ' ' = - 4 x 8 - x 2 + x ( 8 - 2 x 2 ) ( 8 - x 2 ) × 8 - x 2

y ' ' = ( - 4 x ) ( 8 - x 2 ) + 2 x ( 4 - x 2 ) 8 - x 2 3 2

y ' ' = 2 x ( - 2 8 - x 2 + ( 4 - x 2 ) 8 - x 2 2 3

y ' ' = 2 x ( x 2 - 12 ) 8 - x 2 2 3

Passo 2

Achar os pontos críticos, isso é o numerador de y’ tem que ser 0.

8 - 2 x 2 = 0

2 x 2 = 8 → x = ± 2

Só que como a primeira derivada é uma fração, o termo no denominador tem que pertencer aos reais, pois a partir desses pontos a função começa a crescer para fora do eixo real.

8 - x 2 > 0

x 2 < 8

x < ± 8

Isso é: Nossa função está limitada a um x com módulo menor que 8

Passo 3

Agora vamos ver se esses valores de x são máximos ou mínimos locais e ainda vamos ver se existe ponto de inflexão :

Para x = 2

y ( 2 ) ' ' = 2 × 2 ( ( 2 ) 2 - 12 ) 8 - ( 2 ) 2 2 3 = - 32 2.5 = n e g a t i v o

Logo x=2 é máximo local e tem concavidade para baixo

Para x = - 2

y ( - 2 ) ' ' = 2 × - 2 ( ( - 2 ) 2 - 12 ) 8 - ( - 2 ) 2 2 3 = 32 2.5 = p o s i t i v o

Logo x = - 2 representa um ponto de mínimo local

Agora achar o valor de x onde y ' ' é 0.

2 x ( x 2 - 12 ) 8 - x 2 2 3 = 0

2 x x 2 - 12 = 0

Ou x = 0 ou x = ± 12

Só que ± 12 não pode ser, pois achamos anteriormente que para pertencer aos reais x tinha que ser menor que ± 8

Logo x = 0 é a única inflexão da função

Passo 4

Como já encontramos as limitações horizontais da função não precisamos fazer os limites da função. Então já vamos organizar nossos intervalos para desenhar a função.

Como testes utilize -2.5,-1,1 e 2.5

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use os guias desta seção para traçar a curva. y = 1 + 1 x + 1 x 2
Use os guias desta seção para traçar a curva. y = ( x - 4 ) x 3
Use os guias desta seção para traçar a curva. y = 1 x 2 - 4
Use os guias desta seção para traçar a curva. y = sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x , - 2 π ≤ x ≤ 2 π
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = x 3 + 6 x 2 + 9 x