Resolva a equação. ẏ = dy/dt e ÿ = d²x/dt²

d) y¨ - 10y˙ + 25y = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t , assim:

y ¨ - 10 y ˙ + 25 y = 0 → λ 2 e λ t - 10 λ e λ t + 25 e λ t = e λ t λ 2 - 10 λ + 25 = 0

e λ t λ 2 - 10 λ + 25 = 0 → λ 2 - 10 λ + 25 = 0 → λ - 5 2 = 0 → λ 1 = 5   e   λ 2 = 5

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 - 10 λ + 25 = 0 ), então se λ 1 = λ 2 podemos afirmar que:

y t = A e λ 1 t + B t e λ 2 t

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

y t = A e 5 t + B t e 5 t = e 5 t ( A + B t )

Resposta

y t = e 5 t ( A + B t )

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