Resolva a equação

f) y¨ - 4y˙ + 4y = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t , assim:

y ¨ - 4 y ˙ + 4 y = 0 → λ 2 e λ t - 4 λ e λ t + 4 e λ t = e λ t λ 2 - 4 λ + 4 = 0

e λ t λ 2 - 4 λ + 4 = 0 → λ 2 - 4 λ + 4 = 0 → λ - 2 2 → λ 1 e   λ 2 = 2

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 =   λ 2 então podemos reescrever y como sendo:

y t = A e λ 1 t + B t e λ 2 t   A ,   B   ϵ R

Para o nosso caso: λ 1 = 2 = λ 2

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

y t = A e 2 t + B t e 2 t  

Resposta

y t = A e 2 t + B t e 2 t  

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