Resolva o problema de valor inicial.

4y'' - 4y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -1,5

Passo 1

Aqui temos uma equação diferencial linear de segunda ordem, da forma:

a y ' '   + b y ' + c y = 0

Vamos então achar a equação auxiliar:

4 r 2 - 4 r + 1 = 0

Vamos dar uma manipulada nessa equação:

4 r 2 - 4 r + 1 = 0 → 2 r - 1 2 = 0 → r = 1 2

Temos que as raízes são   r = 1 2 , portanto como existe apenas uma raiz real vamos usar a equação 10 :

y = c 1 e 1 2 x + c 2 x e 1 2 x

Temos agora duas condições para substituir e achar os valors de c 1 e c 2 , mas primeiro vamos derivar y :

y ' = 1 2 c 1 e 1 2 x + c 2 e 1 2 x + 1 2 c 2 x e 1 2 x

Passo 2

Pronto, vamos agora substituir:

y 0 = 1 → c 1 e 1 2 . 0 + c 2 . 0 . e 1 2 . 0 = 1 → c 1 + c 2 . 0 . e 1 2 . 0 = 1 → c 1 = 1

y ' 0 = - 1,5 → 1 2 c 1 e 1 2 . 0 + c 2 e 1 2 . 0 + 1 2 c 2 . 0 . e 1 2 . 0 = - 1,5 → 1 2 c 1 + c 2 = - 1,5 → c 2 = - 1,5 - 1 2 = - 2

Agora é só substituir de volta:

y = c 1 e 1 2 x + c 2 x e 1 2 x = e 1 2 x - 2 x e 1 2 x

Resposta

y = c 1 e 1 2 x + c 2 x e 1 2 x = e 1 2 x - 2 x e 1 2 x

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