Se usarmos, para esse caso que
y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t
, assim:
y ¨ - 6 y ˙ + 5 = 0 → λ 2 e λ t - 6 λ e λ t + 5 e λ t = e λ t λ 2 - 6 λ + 5 = 0
e λ t λ 2 - 6 λ + 5 = 0 → λ 2 - 6 λ + 5 = 0 → λ 2 - 6 λ + 5 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
λ ' e λ " = - b ± b 2 - 4 a c 2 a
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = - 6 e c = 5
, assim:
λ ' e λ " = 6 ± ( - 6 ) 2 - 4 1 5 2 1 = 3 ± 16 2 = 3 ± 4 2 = 3 ± 2 → λ = 5 e λ = 1
Passo 2
Identificados os valores de
λ
, podemos Agora reescrever o
y
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
λ 1 e λ 2
da equação característica (ou seja, a função
λ 2 + b λ + c = 0
), então se
λ 1 ≠ λ 2
então podemos reescrever
y
como sendo:
y t = A e λ 1 t + B e λ 2 t A , B ϵ R
Para o nosso caso:
λ 1 = 1 e λ 2 = 5
Assim, substituindo os valores de
λ 1 e λ 2
:
y t = A e 1 t + B e 5 t