Enunciado

27 . (a) Resolva a equação de Bernoulli quando n = 0 e quando n = 1.(b) Mostre que, se n ≠ 0 e n ≠ 1, então a substituição υ = y1–n reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Esse método de solução foi encontrado por Leibniz em 1696.

Passo 1

Antes de começarmos tenho que dizer que resolver as equações de bernoulli tem um grau maior de dificuldade que as equação separáveis, se não estiver acostumado com o método de resolução temos uma seção incrível de teoria no nosso site 😉. Bem uma equação de bernoulli tem o seguinte formato

y ' + p t y = q t y n

E para resolver vamos usar o método do termo integrante!!! Em geral a equação solução tem a seguinte cara

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Onde nossa função I t   é

I t = e ∫ P t d t

Belezinha? Vamos cair dentro então \o/

Passo 2

  1. 1. Vamos calcular quando n = 0 . Isso faz com que nossa equação

y ' + p t y = q t y n

Tenha ao seguinte formato

y ' + p t y = q t

E a solução é a clássica de equações Homogêneas

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Onde nossa função I t   é

I t = e ∫ P t d t

Passo 3

2. Agora se n = 1 acontece algo interessante, nossa equação fica separável

y ' + p t y = q t y n

y ' = y   q - p

1 y d y = q - p d t

ln ⁡ y = ∫ q - p d t

y = e ∫ q - p d t

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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