Enunciado

Equações sem a Variável Independente. Considere equações de segunda ordem da forma y ' ' = f y , y ' , na qual a variável independente t não aparece explicitamente. Se definirmos v = y ' , obteremos d v d t = f ( y , v ) . Como a expressão à direita do sinal de igualdade depende de y e v , em vez de t e v , essaequação contém variáveis demais. No entanto, se pensarmos em y como a variável independente, pela regra da cadeia temos d v d t = d v d y d y d t = v d v d y . Portanto, a equação diferencial original pode ser resolvida, obteremos v como função de y . Então poderemos obter uma relação entre y e t resolvendo d y d t = v y , que é uma equação separável. Novamente, o resultado final contém duas constantes arbitrárias. Em cada um dos problemas de 42 a 47, use esse método para resolver a equação diferencial dada.

2 ⋅ y 2 ⋅ y ' ' + 2 ⋅ y ⋅ y ' 2 = 1

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando y ' = v y e y ' ' = d v d y d y d t = v ' y ⋅ v y , temos que nossa equação fica como:

2 ⋅ y 2 ⋅ v ' ⋅ v + 2 ⋅ y ⋅ v 2 = 1

Como se trata de uma equação de Bernoulli, vamos aplicar uma outra transformação, na qual z = v 2 e z ' = 2 ⋅ v ⋅ v ' . Assim, podemos reescrever a equação como:

y 2 ⋅ z ' + 2 ⋅ y ⋅ z = 1

d d y ( y 2 ⋅ z ) = 1

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

y 2 ⋅ z = y + k 1

z = 1 y + k 1 y 2

Utilizando a transformação novamente, temos que:

v 2 = z = 1 y + k 1 y 2

v = 1 y + k 1 y 2

d y d t = y ' = v y = 1 y + k 1 y 2

d y d t = 1 y + k 1 y 2

1 1 y + k 1 y 2 ⋅ d y = d t

± 2 3 ⋅ y + k 1 3 2 - 2 ⋅ k 1 ⋅ y + k 1 1 2 = t + k 2

Sendo essas nossas soluções para a equação.

Resposta

± 2 3 ⋅ y + k 1 3 2 - 2 ⋅ k 1 ⋅ y + k 1 1 2 = t + k 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

24. Use o método do exercício 23 para resolver a equação diferencial x y ' + y = - x y 2 .
Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.1. x . d y d x + y = 1 y 2
Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.6. 3 1 + x 2 . d y d x = 2 x y y 3 - 1
Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.9. x y 1 + x y 2 . d y d x = 1 , no qual y 1 = 0 .
Resolva x d y d x + 4 y = x 4 y 2 sujeito a y 1 = 1 .