Enunciado

Resolva a equação diferencial

3 ⋅ x ⋅ y + y 2 + x 2 + x ⋅ y ⋅ y ' = 0

Usando o fator integrante μ x , y = x ⋅ y ⋅ 2 ⋅ x + y - 1 . Verifique se a solução é a mesma que a obtida no Exemplo 4 com um fator integrante diferente.

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método do fator integrante utilizando o μ dado para verificar a solução do exemplo 4. Vamos verificar se a equação é uma diferencial exata e, então, aplicaremos o método do capítulo para resolver.

Passo 2

Primeiro vamos multiplicar toda a função pelo fator integrante. Temos que

1 x ⋅ y ⋅ 2 ⋅ x + y ⋅ 3 ⋅ x ⋅ y + y 2 + 1 x ⋅ y ⋅ 2 ⋅ x + y ⋅ x 2 + x ⋅ y ⋅ y ' = 0

3 2 ⋅ x + y + y x ⋅ 2 ⋅ x + y + x y ⋅ 2 ⋅ x + y + 1 2 ⋅ x + y ⋅ y ' = 0

Calculando agora M y e N x , vemos que

M y = - 3 2 ⋅ x + y 2 + 2 2 ⋅ x + y 2 = - 1 2 ⋅ x + y 2

N x = 1 2 ⋅ x + y 2 - 2 2 ⋅ x + y 2 = - 1 2 ⋅ x + y 2

Sendo iguais, como queríamos. Agora vamos integrar em relação a x o termo M . Temos que nossa ψ ( x , y ) ficará

ψ x , y = ln ⁡ 2 ⋅ x + y + ln ⁡ y + 2 ⋅ x y - 1 - ln ⁡ y + 2 ⋅ x y + g y

Derivando em relação a y agora, temos que

ψ y x , y = 1 2 ⋅ x + y - 1 y + 2 ⋅ x y ⋅ 2 ⋅ x + y + g ' y = g ' y = N =

1 2 ⋅ x + y - 1 y + x y ⋅ 2 ⋅ x + y + g ' y = x y ⋅ 2 ⋅ x + y + 1 2 ⋅ x + y

g ' y = 1 y

Assim, nosso g y = ln ⁡ | y | . Substituindo na equação de ψ ( x , y ) , temos que a solução implícita fica

ψ x , y = ln ⁡ 2 ⋅ x + y + ln ⁡ y + 2 ⋅ x y - 1 - ln ⁡ y + 2 ⋅ x y + ln ⁡ y = C

Resposta

ln ⁡ 2 ⋅ x + y + ln ⁡ y + 2 ⋅ x y - 1 - ln ⁡ y + 2 ⋅ x y + ln ⁡ y = C

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