dy/dx = 1 + 2x + y^2 + 2xy^2

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro trabalhar um pouco com nossa equação e ajeita-la a fim de ser possível resolve-la.

d y d x = 1 + 2 x + y 2 + 2 x y 2 = 1 + 2 x + y 2 1 + 2 x = ( 1 + 2 x ) ( 1 + y 2 )

Assim temos elementos para escreve-la como

d y 1 + y 2 = 1 + 2 x d x

Agora integrando em ambos os lados, ficamos com

∫ d y 1 + y 2 = arctan ⁡ y = ∫ 1 + 2 x d x = x + x 2 + C

O que nos resume em

y = tan ⁡ x + x 2 + C

E assim temos finalmente a nossa solução.

Resposta

y = tan ⁡ x + x 2 + C

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