Enunciado

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Resolva a equação diferencial y ' = x + y , usando a mudança de variáveis u = x + y .

Passo 1

E aê, galera! O enunciado nos pede pra resolver uma equação diferencial, ou seja, temos que encontrar uma equação que nos dê y em função somente de x , não de y ' . Mas a primeira coisa que a gente nota aqui é que a equação diferencial do enunciado não é separável:

d y d x = x + y

Mas, para nossa alegria, já nos foi dada a dica de como resolver. Temos que fazer a seguinte mudança de variáveis:

u = x + y

Derivando os dois lados em relação a x , extraímos mais informações que nos podem ser úteis mais tarde:

d u d x = 1 + d y d x

Às vezes a gente se depara com um tipo de questão que nunca resolvemos, e é esse o melhor a fazer primeiro: escreve o que o enunciado te dá, reescreve de outro jeito se for mais fácil de entender, manipula o que você tem pra tentar extrair mais informações ainda (no caso aqui, derivamos em relação a x ). Depois disso o caminho da resolução pode ficar mais claro.

Passo 2

Olhando para as três equações que escrevemos no passo anterior, podemos tentar trabalhar com elas pra chegar a algum lugar.

Olhando para a primeira e a segunda, vemos que:

d y d x = x + y = u

d y d x = u

Substituindo essa derivada na terceira equação:

d u d x = 1 + d y d x = 1 + u

d u d x = 1 + u

Agora sim! Chegamos a uma equação separável!

Passo 3

Galera, agora é só separar bonitinho, um lado da equação com u , o outro com x , e mandar ver na integração:

1 1 + u d u = d x

∫ 1 1 + u d u = ∫ 1   d x + C

ln ⁡ 1 + u = x + C

Voltando a substituir u = x + y , e dando aquela ajeitadinha pra isolar o y , ficamos assim:

ln ⁡ 1 + x + y = x + C

1 + x + y = e x + C

y = e x e C - x - 1

y = K e x - x - 1

Não ficou a função mais linda do mundo, mas o importante é que resolvemos a equação HAHAHA

Resposta

y = K e x - x - 1

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