Enunciado

Resolva a equação diferencial:

y^' + ( tan x ) y = cos^2 x - (pi)/(2) < x < (pi)/(2)

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = tan x ; f (x) = cos^2 x

Passo 2

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int tan x d x) = e^(ln sec x) = sec x = (1)/(cos x)

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

(1)/(cos x) . y^' + (1)/(cos x) . (sin x)/(cos x) y = (1)/(cos x) . cos^2 x

(1)/(cos x) . y^' + (sin x)/(cos^2 x) y = cos x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d y)/(d x) ((1)/(cos x) . y) = cos x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

(1)/(cos x) . y = int cos x d x

(1)/(cos x) . y = sin x + C

y = cos x . sin x + c . cos x

Resposta

y = cos x . sin x + c . cos x

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