Enunciado

22. Resolva a equação diferencial y ' + cos ⁡ x y = cos ⁡ x e use uma calculadora ou um computador para traçar vários membros da família de soluções. Como a curva solução muda quando C varia?

Passo 1

A EDO é linear com P x = cos ⁡ x e Q x = cos ⁡ x .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , ou seja, I x = e ∫ cos ⁡ x d x = e - s e n x .

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C . Já sabemos que I x = e - s e n x e que Q x = cos ⁡ x .

Passo 4

Então precisamos calcular ∫ cos ⁡ x ⋅ e - s e n x d x . Fazendo - s e n x = u , temos que - cos ⁡ x d x = d u , isto é, cos ⁡ x d x = - d u . Então temos ∫ cos ⁡ x ⋅ e - s e n x d x = - ∫ e u d u = - e u = - e - s e n x . E então a solução é y x = 1 e - s e n x - e s e n x + C = e s e n x - e s e n x + C e portanto, y x = C ⋅ e s e n x - 1 .

Passo 5

Variando C nos números - 3 ,   - 2 ,   - 1 e 0 (reta y = - 1 ) e em 1 ,   2 ,   3 , temos a seguinte família de soluções:

Resposta

Observando o gráfico, notamos que quando C é negativo, as soluções estão abaixo da reta y = - 1 e quando C é positivo, a curva fica acima da reta y = - 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Corrente em um circuito RL desligado Se o interruptor de um circuito RL for desligado depois de a corrente atingir o valor estacionário I = V / R , o decaimento da corrente ( esboçado graficamente aqu
Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 15-20: d y d x - x y = x y ( 0 ) = - 6
Dedução da Equação 7 no Exemplo 4b.Em seguida, use a condição inicial i 0 = 0 para determinar o valor de C. Isso completará a dedução da Equação 7.
Dedução da Equação 7 no Exemplo 4a. Mostre que a solução da equação d i d t + R L i = V L seria: i = V R + c e - R L t
Dedução da Equação 7 no Exemplo 4c.Mostre que i = V / R é uma solução da Equação 6, e que i t = c e - R L t satisfaz a equação: d i d t + R L i = 0 Equação 6) d i d t + R L i = V L