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Resolva a equação diferencial.

y ' = x e y x - 2  

Passo 1

Analisando o lado direito da nossa equação diferencial percebemos que há apenas multiplicações e que as variáveis x e y não se misturam, logo, podemos separar um lado com tudo que tem y e no outro tudo que contém x , lembrando que y ' = d y d x podemos reescrever nossa equação como sendo

d y d x =   x e y x - 2  

d y =   x e y x - 2     d x

d y e y = x ⋅ x - 2     d x

e - y d y =   x ⋅ x - 2   d x

Agora, integrando ambos os lados poderemos encontrar f x = y que é nosso objetivo.

Passo 2

Integrando ambos os lados vamos ter

∫ e - y d y = ∫ x ⋅ x - 2   d x

Podemos resolver cada uma das integrais separadamente e depois juntar os resultados para encontrarmos a resposta

i :   ∫ e - y d y =   - e - y + C 1  

i i :   ∫ x ⋅ x - 2   d x  

Fazendo x - 2 = u → d u = d x

→   ∫ x ⋅ x - 2   d x   = ∫ u + 2 ⋅ u   d u = ∫ u ⋅ u + 2 u   d u = ∫ u 1 + 1 2 d u + ∫ 2 u d u

→   ∫ u 3 2 d u + ∫ 2 u d u =

→   u 3 2 + 1 3 2 + 1 + 2 ⋅ u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C 2 =

→   u 5 2 5 2 + 2 ⋅ u 3 2 3 2 + C 2 =     2 5 ⋅ u 5 2 + 4 3 ⋅ u 3 2 + C 2

Retornando à variável x

→ 2 5 ⋅ x - 2 5 2 + 4 3 ⋅ x - 2 3 2 + C 2

Juntando ambos os resultados vamos chegar em : - e - y = 2 5 ⋅ x - 2 5 2 + 4 3 ⋅ x - 2 3 2 + C

Sendo C = C 2 - C 1 = c o n s t a n t e   q u a l q u e r

e - y =   - 2 5 ⋅ x - 2 5 2 + 4 3 ⋅ x - 2 3 2 - C

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados obtemos

- y = ln ⁡ - 2 5 ⋅ x - 2 5 2 + 4 3 ⋅ x - 2 3 2 - C    

y =   -   ln ⁡ - 2 5 ⋅ x - 2 5 2 + 4 3 ⋅ x - 2 3 2 - C

Resposta

y =   -   ln ⁡ - 2 5 ⋅ x - 2 5 2 + 4 3 ⋅ x - 2 3 2 - C

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