Enunciado

Resolva as equações de Bernoulli nos Exercícios 29-32:

x y ' + y = y - 2

Passo 1

Podemos reescrever a equação da seguinte forma:

x d y d x + y = y - 2

Passo 2

Percebemos que a equação acima é do tipo de Bernoulli. Disso, podemos escrever a equação de forma linear, fazendo a seguinte substituição:

u = y 1 - n

Onde n seria a ordem da EDO de Bernoulli. No caso da questão n = 2 . Assim:

u = y 1 + 2 = y 3

u = y + 3   e que analogamente y = u 1 / 3

Derivando ambos os lados por d d x teremos assim:

d u d x = 3 y 2 d y d x   e d y d x = 1 3 u - 2 / 3 d u d x  

Substituindo na EDO original teremos:

x 3 u - 2 / 3 d u d x + u 1 / 3 = u - 2 / 3

ou

d u d x + 3 x u = 3 x

Temos aqui uma equação Linear, do tipo:

d u d x + P x u = f

Passo 3

Temos aqui uma EDO linear dada por:

d u d x + 3 x u = 3 x

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v x = e ∫ P ( x ) d x

e depois aplicar isso à seguinte expressão:

u x = 1 v x ∫ f ⋅ v x d t + c

Onde:

P x = 3 x

f = 3 x

Passo 4

Calculando o fator integrante temos:

v x = e ∫ 3 x d x = e 3 l n   x

ou

e 3 l n   x = x 3

Passo 5

substituindo o fator integrante na solução da EDO, temos:

u x = 1 x 3 ∫ x 3 ⋅ 3 x d x ⇒ u x = 1 x 3 ∫ 3 x 2 d x

u x = 1 x 3 x 3 + c ⇒ u x = 1 + c x 3

Contudo, ainda temos que achar o valor de y . Assim:

y = 1 + c x 3 1 / 3

Resposta

Logo o resultado será:

y = 1 + c x 3 1 / 3

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