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Resolva a equação diferencial.

y ' = e y x y

Passo 1

Analisando o lado direito da nossa equação diferencial percebemos que há apenas multiplicações e que as variáveis x e y não se misturam, logo, podemos separar um lado com tudo que tem y e no outro tudo que contém x , lembrando que y ' = d y d x podemos reescrever nossa equação como sendo

d y d x = e y x y

y   d y e y = d x x

Agora, integrando ambos os lados poderemos resolver nossa equação diferencial.

Passo 2

Aplicando o operador integral em ambos os lados vamos obter

∫ y   d y e y = ∫ d x x

Podemos resolver cada uma das integrais separadamente e depois juntar os resultados para encontrarmos a resposta

i : ∫ d x x = ln ⁡ x + C 2

i i : ∫ y   d y e y = ∫ y e - y d y

Para resolver essa integral precisamos utilizar a integração por partes, assim, temos

∫ u   d v =   u v - ∫ v   d u

Fazendo

u = y → u ' = 1

d v = e - y → v = - e - y

∫ y e - y d y =   - y e - y - ∫ - e - y d y =

→   - y e - y - e - y + C 1

Juntando ambos os resultados e lembrando que C = C 2 - C 1 vamos obter

- y e - y - e - y + C 1 = ln ⁡ x + C 2  

- y e - y - e - y = ln ⁡ x + C  

e - y ⋅ y + 1 = - ln ⁡ x + C

Resposta

e - y ⋅ y + 1 = - ln ⁡ x + C

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