Resolva a equação diferencial

x \* y' + 2y = 1 - x^(-1)

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e ∫ p x d x

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

d d x v y = v ⋅ q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y ' + p x y = q x . Portanto, temos:

x y ' + 2 y = 1 - x - 1

y ' + 2 x ⋅ y = 1 x - 1 x 2

Portanto a função p x = 2 / x . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e ∫ p x d x

v = e e ∫ 2 x d x = e 2 ln ⁡ x

v = e ln ⁡ x 2   = e ln ⁡ x 2 = x 2

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v ⋅ y ' + 2 x ⋅ y = v ⋅ 1 x - 1 x 2

x 2 ⋅ d y d x + 2 x ⋅ y = x 2 ⋅ 1 x - 1 x 2

d d x x 2 ⋅ y = x - 1

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

x 2 ⋅ y = ∫ ( x - 1 ) d x

y = 1 x 2 ⋅ x 2 2 - x + k

Portanto,

y = 1 2 - x - 1 + k ⋅ x - 2

Resposta

y = 1 2 - x - 1 + k ⋅ x - 2

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