Resolva a equação diferencial:

(t + 1) \* ds/dt + 2s = 3(t + 1) + 1/(t + 1)^2 t > -1

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

Dividimos por t + 1 , pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

s ' + 2 t + 1 s = 3 +   1 1 t + 1 3

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

s ' t + p t s = f ( t )

Comparando, percebemos que p t =   2 t + 1 ;   f t = 3 +   11 t + 1 3

Passo 2

Agora, que identificamos p ( t ) e f ( t ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u t =   e ∫ p x d x = e ∫ 2 t + 1 d t =   e 4 ln ⁡ ( t + 1 ) = e ln ⁡ ( t + 1 ) 2 = t + 1 2

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

t + 1 2 s ' + 2 t + 1 s = 3 t + 1 2 + t + 1 - 1

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d s d t t + 1 2 . s = 3 t + 1 2 + t + 1 - 1

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

t + 1 2 . s = ∫ 3 t + 1 2 + t + 1 - 1   d t

t + 1 2 . s = t + 1 3 + ln ⁡ t + 1 + C

y = t + 1 + t + 1 - 2 . ln ⁡ t + 1 +   C t + 1 2     t > - 1

Resposta

y = t + 1 + t + 1 - 2 . ln ⁡ t + 1 +   C t + 1 2     t > - 1

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