Enunciado

Resolva a equação diferencial:

x (d y)/(d x) + y = e^x

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos dividir a equação por x , pois o coeficiente de (d y)/(d x) deve ser 1. E vamos ainda, escrever (d y)/(d x) como y ' , beleza?

y^' + (1)/(x) y = (e^x)/(x)

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = (1)/(x) ; f (x) = (e^x)/(x)

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int (1)/(x) d x) = e^(ln x) = x

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y^' x + x . (1)/(x) y = x . (e^x)/(x)

y^' x + y = e^x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d y)/(d x) (x . y) = e^x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

x . y = int e^x d x

x . y = e^x + C

y = (e^x + C)/(x)

Resposta

y = (e^x + C)/(x)

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