Resolva a equação diferencial

2 \* y' - y = x \* e^(x/2)

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e ∫ p x d x

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

d d x v y = v ⋅ q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y ' + p x y = q x . Portanto, temos:

2 y ' - y = x e x / 2

y ' - 1 2 ⋅ y = x e x 2 2

Portanto a função p x = - 1 / 2 . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e ∫ p x d x

v = e e ∫ - 1 2 d x = e - x / 2

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v ⋅ y ' - 1 2 ⋅ y = v ⋅ x e x 2 2

e - x 2 ⋅ d y d x - 1 2 ⋅ y = e - x 2 ⋅ x e x 2 2

d d x e - x 2 ⋅ y = x 2

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

e - x 2 y = ∫ x 2 d x

y = 1 e - x 2 ⋅ x 2 4 + k

Logo,

y = e x / 2 ⋅ x 2 4 + k

Resposta

y = e x / 2 ⋅ x 2 4 + k

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