Resolva a equação diferencial

(1 + e^x)dy + (y e^x + e^(-x))dx = 0

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e ∫ p x d x

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

d d x v y = v ⋅ q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y ' + p x y = q x . Portanto, temos:

1 + e x d y + y e x + e - x d x = 0

1 + e x d y d x   + e x y = - e - x

d y d x   + e x 1 + e x y = - e - x 1 + e x

Portanto a função p x = e x 1 + e x . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e ∫ e x 1 + e x d x

Precisamos resolver a seguinte integral.

∫ e x 1 + e x d x

Para isto, vamos fazer a seguinte substituição: u = 1 + e x . Consequentemente, d u = e x d x . Desta forma, temos:

∫ e x 1 + e x d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Voltando para a variável inicial,

ln ⁡ u = ln ⁡ 1 + e x

Portanto o nosso fator integrante é dado por:

v = e ln ⁡ 1 + e x = 1 + e x

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v ⋅ y ' + e x 1 + e x ⋅ y = v ⋅ - e - x 1 + e x

1 + e x ⋅ d y d x + e x 1 + e x ⋅ y = 1 + e x ⋅ - e - x 1 + e x

d d x 1 + e x ⋅ y = - e - x

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

1 + e x ⋅ y = - 1 ⋅ ∫ e - x d x

y = 1 1 + e x ⋅ - 1 ⋅ - e - x + k

Logo,

y = e - x + k 1 + e x

Resposta

y = e - x + k 1 + e x

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