Enunciado

6.

a. Mostre que h ( x ) = x 3 / 4 e k ( x ) = 4 x 1 / 3     são inversas uma da outra.

b. Esboce h e k juntas em um intervalo de x suficientemente grande para mostrar o cruzamento de ambos em ( 2 ,   2 ) e ( - 2 , - 2 ) . Certifique-se de que o gráfico apresenta a simetria necessária em relação à reta y = x .

c. Determine os coeficientes angulares das tangentes aos gráficos de h e k em ( 2 ,   2 ) e ( - 2 , - 2 ) (quatro tangentes no total).

d. Quais retas tangenciam as curvas na origem?

Passo 1

a.

Para provar que h é a inversa de k é bem fácil, só precisamos pegar a função h e isolar o x :

h x = x 3 4

4 h x = x 3

4 h x 1 / 3 = x

Portanto a inversa de h ( x ) é igual a k ( x ) :

k ( x ) = 4 x 1 / 3  

Passo 2

b.

Os dois gráficos são simples de desenhar por serem bastante conhecidos. O primeiro uma função do terceiro grau e o segundo uma função raiz cubica.

Podemos plotar alguns pontos, para termos um gráfico mais fiel. E vamos obter:

A linha pontilhada é a linha y = x , podemos observar que as funções apresentam a simetria necessária.

Passo 3

c.

O coeficiente angular da tangente, em certo ponto da função, é a derivada da função naquele ponto.

Então vamos calcular a derivada das funções h e k :

h x = x 3 4

h ' x = 3 x 2 4

e

k x = 4 x 1 3

k ( x ) = 4 1 / 3   x 1 / 3  

k ' ( x ) = 4 1 / 3   1 3 x - 2 / 3  

k ' ( x ) = 4 1 / 3   3 x - 2 / 3  

k ' ( x ) = 4 1 / 3   3 ( x ) 2 / 3

Passo 4

c.

Agora só precisamos achar o valor das derivadas nos pontos dados:

No ponto 2,2 :

h ' 2 = 3 ( 2 ) 2 4

h ' 2 = 3 ( 4 ) 4

h ' 2 = 3

e

k ' ( 2 ) = 4 1 / 3   3 ( 2 ) 2 / 3

k ' 2 = 1 3

No ponto ( - 2 , - 2 ) :

h ' - 2 = 3 ( - 2 ) 2 4

h ' - 2 = 3 ( 4 ) 4

h ' - 2 = 3

e

k ' ( - 2 ) = 4 1 / 3   3 ( - 2 ) 2 / 3

k ' - 2 = 1 3

Passo 5

d.

Essa é fácil, é só observarmos o gráfico que vamos ver que a reta tangente à h x = x 3 / 4 em x = 0 é:

x = 0

Mas se você fez um esboço do gráfico e não tem certeza, é só derivar e alpicar a derivada nesse ponto:

h ' x = 3 x 2 4

h ' 0 = 3 ( 0 ) 2 4

h ' 0 = 0

E para k ( x ) = 4 x 1 / 3     é a mesma coisa. A gente observa no gráfico que a reta tangente em x = 0 irá ser:

y = 0

E podemos calcular usando a derivada também:

k ' ( x ) = 4 1 / 3   3 ( x ) 2 / 3

Acontece que não podemos dividir por zero, então imagine que o x está tendendo a zero. Nesse caso k ' ( x ) está tendendo ao infinito, uma reta com o coeficiente angular infinito é uma reta na vertical, ou seja, a reta tangente a curva nesse ponto é a reta y = 0 .

Resposta

b.

c. No ponto 2,2 :

h ' 2 = 3       e       k ' 2 = 1 3

No ponto ( - 2 , - 2 ) :

h ' - 2 = 3       e       k ' - 2 = 1 3

d.

Para h ' ( 0 ) : x = 0

Para k ' ( 0 ) : y = 0

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