Resolva a equação diferencial

dy/dx = e^(x-y) + e^x + e^(-y) + 1

Passo 1

Inicialmente reescreveremos de forma conveniente a equação que nos foi dada , teremos,

d y d x = e x e y + e x + 1 e y + 1   ⇒ e x + 1 e y + ( e x + 1 ) ⇒ ( e x + 1 ) + e y ( e x + 1 ) e y = ( e x + 1 ) . 1 e y + e y

Agora para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de x e do outro todo mundo que depende de y .

1 1 e y + e y     d y = ( e x + 1 ) d x

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ 1 1 e y + e y     d y     = ∫ ( e x + 1 )   d x

Passo 2

Para resolver a integral em relação a y , teremos

∫ 1 1 e y + e y     d y     = ∫ 1 1 e y     d y     + ∫ 1 e y     d y   = ∫ e y     d y     + ∫ 1 e y     d y  

Para resolver a segunda integral, usaremos a regra de substituição. Dessa maneira, suponha que u = e y ⇒ d u = e y d y ⇒ d y = d u e y = d u u   .

∫ 1 e y     d y   =   ∫ 1 u   d u u   = ∫ 1 u 2   d u   = ∫ u - 2   d u   = - u - 1 + C 1 = - 1 u + C 1

Porém, como estamos com uma integral indefinida queremos encontrar a resposta na variável, original, ou seja,

= - 1 u + C 1 = - 1 e y + C 1

Logo,

∫ 1 e y     d y   = - 1 e y + C 1

Assim,

∫ 1 1 e y + e y     d y     = ∫ e y     d y +   ∫ 1 e y     d y = e y + C 2 - 1 e y + C 1

Passo 3

Para resolver a integral em relação a x , usaremos a regra da soma,

∫ ( e x + 1 )   d x = ∫ e x   d x + ∫ 1   d x = e x + x + C 3

Passo 4

Portanto a solução da EDO é da forma,

∫ 1 1 e y + e y     d y     = ∫ ( e x + 1 )   d x

⇒ e y + C 2 - 1 e y + C 1 = e x + x + C 3

De maneira geral teremos

e y - 1 e y - e x + x = C

Onde, C = C 3 - ( C 2 + C 1 )

Resposta

A solução da EDO é:

e y - 1 e y - e x + x = C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados