Enunciado

Desenhe um campo de direções para equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quanto t   →   ∞ . Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0 , descreva essa dependência.

y ' = 2 y - 3

Passo 1

Vamos lá! Temos uma diferencial da seguinte forma:

y ' = 2 y - 3

O problema ta pedindo pra a gente desenhar um campo de direções, e aqui a gente vai ver qual é o comportamento da função sem precisar resolver a EDO!

A dica que a gente recebe no enunciado é que a função y é do tipo f ( y , t ) , mas o t não aparece na EDO.

Então a gente vai fazer o seguinte, vamos substituir vários valores para y ' , descobrir y e montar nosso campo de direções.

Começando por y ' = - 3 :

Para y ' = - 3

- 3 = 2 y - 3

y = 0

Mas a gente tem que fazer isso com váaaarios pontos, então eu vou deixar uma tabelinha com o resultado!

Passo 2

E como a gente transforma essa tabela em um campo de direções?!

Vamos lá! y ' é a derivada, certo? Então ela diz da pra a gente a inclinação da reta no ponto y correspondente!

Por exemplo, para y ' = - 2,5 a gente tem y = 0,25 , então a gente vai em y = 0,25 e desenhamos uma reta pequenininha com inclinação negativa de 2,5 .

Em y = 2,75 temos y ' = 2,5 , isso significa que vamos desenhar a mesma reta pequenininha, mas dessa vez ela vai ter inclinação positiva!

Olhando o campo de direções a gente ve que a medida que nos aproximamos de y = 1,5 a inclinação vai diminuindo e divergem em y = 1,5 que é como se as retinhas estivessem saindo da inclinação de y ' = 0   e se “abrindo”!

Como o t não aparece na derivada então a inclinação da reta vai ser igual para qualquer valor de t , então quando t   →   ∞ , o comportamento das inclinações da reta continuam iguais!

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