Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ´ ´ + 2 y ´ + 5 y = 1 + e x

Passo 1

Primeiramente nós solucionamos a equação característica da parte homogenia onde

r 2 + 2 r + 5 = 0 que tem solução r 1 = - 1 + 2 i   e   r 2 = - 1 - 2 i   onde i 2 = - 1   , a solução da parte homogênea será:

y h x = e - x ( c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x )

Passo 2

Agora utilizaremos as técnicas dos coeficientes a determinar chutando uma solução particular do tipo y p = A + B e x

Suas derivadas ficam y p ´ = B e x  

e y p ´ ´ = B e x

onde y ´ ´ + 2 y ´ + 5 y = 1 + e x

substituindo y p   n ó s   t e r e m o s :

B e x + 2 B e x + 5 ( A + B e x ) = 1 + e x

8 B e x + 5 A = 1 + e x

De fato, nós temos uma igualdade então os dois lados têm que ser iguais assim:

8 B = 1   e   5 A = 1   e n t ã o   B = 1 8   e   A = 1 5

Portanto a y p   s e r á :

y p = 1 5 + 1 8 e x

A solução da equação diferencial não homogênea será:

y x = y h + y p = e - x ( c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x ) + 1 5 + 1 8 e x

Resposta

y x = e - x ( c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x ) + 1 5 + 1 8 e x

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