Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - 4 y = e x cos ⁡ x ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' - 4 y = 0

E supor uma solução do tipo:

y h x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x - 4 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 - 4 = 0 ∴ k = ± 2

Aqui temos duas raízes reais e diferentes, então a solução vai ser:

y h x = c 1 e - 2 x + c 2 e 2 x

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = e x c o s x , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma exponencial vezes uma combinação de seno e cosseno:

y p x = A c o s x + B s e n x e x

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = e x A c o s x + B s e n x + e x ( - A s e n x + B c o s x )

E a segunda derivada fica

y p ' ' x = e x A c o s x + B s e n x + e x - A s e n x + B c o s x + e x - A s e n x + B c o s x + e x - A c o s x - B s e n x

y p ' ' x = 2 e x ( - A s e n x + B c o s x )

Agora substituindo y p 1   e y p 1 ' ' na equação diferencial temos:

y p ' ' - 4 y p = e x c o s x

2 e x - A s e n x + B c o s x - 4 e x A c o s x + B s e n x = e x c o s x

De cara podemos cortar os e x

- 2 A s e n x + 2 B c o s x - 4 A c o s x - 4 B s e n x = c o s x

- 2 A - 4 B s e n x + - 4 A + 2 B cos ⁡ x = c o s x

Assim temos um sistema:

2 B - 4 A = 1 - 2 A - 4 B = 0

Daqui tiramos os valores de A e B :

2 B - 4 . - 2 B = 1 ∴ B = 1 / 10

E:

A = - 1 / 5

E a solução particular é:

y p x = - 1 / 5 c o s x + 1 / 10 s e n x e x

Passo 4

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e do passo 3 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y x = c 1 e - 2 x + c 2 e 2 x + - 1 / 5 c o s x + 1 / 10 s e n x e x

Passo 5

Beleza! Agora é só aplicar as condições iniciais para determinar as constantes c 1 e c 2 . As condições iniciais são:   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 2

A primeira é sobre a solução, então fazendo x = 0 em y ( x ) temos:

y 0 = c 1 e - 2.0 + c 2 e 2.0 + - 1 / 5 c o s 0 + 1 / 10 s e n 0 e 0 = 1

c 1 + c 2 - 1 5 = 1 ∴ c 1 = 6 5 - c 2

A segunda condição é sobre a derivada. Então y ' ( x ) é:

y ' x = - 2 c 1 e - 2 x + 2 c 2 e 2 x + - 1 / 5 c o s x + 1 / 10 s e n x e x + 1 / 5 s e n x + 1 / 10 c o s x e x

E aplicando em x = 0 temos:

y ' 0 = - 2 c 1 + 2 c 2 - 1 5 + 1 10 = 2

- 2 c 1 + 2 c 2 - 1 10 = 2

Substituindo c 1 temos:

- 2 6 5 - c 2 + 2 c 2 - 1 10 = 2

- 12 5 + 2 c 2 + 2 c 2 - 1 10 = 2

4 c 2 = 2 + 1 10 + 12 5 = 20 + 1 + 24 10 = 45 10

c 2 = 45 40

E também:

c 1 = 6 5 - c 2 = 48 - 45 40 = 3 40

Show! Finalmente temos a solução:

y x = 3 40 e - 2 x + 45 40 e 2 x + - 1 5 c o s x + 1 10 s e n x e x

Resposta

y x = 3 40 e - 2 x + 45 40 e 2 x + - 1 5 c o s x + 1 10 s e n x e x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes. y ' ' + 3 y ' + 2 y = e x + sen ⁡ x
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes. y ' ' + 3 y ' - 4 y = x 3 + x e x
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes. y ' ' + 4 y = cos ⁡ 4 x + cos ⁡ 2 x
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes. y ' ' + 2 y ' + 10 y = x 2 e - x cos ⁡ 3 x
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes. y ' ' + 4 y ' = e 3 x + x sen ⁡ 2 x